PERMUTASI dan KOMBINASI

-
A.PERMUTASI 
          Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek - objek.Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi aturan perkalian.
Terdapat n objek. Kita akan mengambil 1 objek dari n objek.
Banyaknya kemungkinan yang mungkin terjadi adalah n kemungkinan.
Contoh: Terdapat kotak berisi 3 bola. Amir akan mengambil 1 bola dari kotak tersebut. banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi adalah 3 kemungkinan, yaitu terambilnya bola 1, bola 2, atau bola 3.
Permutasi berukuran n dari n elemen
Terdapat n objek. Kita akan mengambil n objek dari n objek.Berdasarkan aturan perkalian (rule of product), banyaknya kemungkinan yang mungkin terjadi (jika urutan pengambilan diperhatikan dan pengembalian tidak diperbolehkan) dapat dinotasikan dengan rumus sebagai berikut: 
n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1 = n!
Contoh soal :
 Banyaknya bilangan ribuan yang dapat disusun dengan menggunakan keempat angka 1,2,3,4 adalah
penyelesaian:  4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24.
jadi, banyaknya bilangan ribuan yang dapat disusun dengan menggunakan keempat angka sebanyak 24 kali.
Permutasi berukuran r dari n elemen: dinotasikan P(n,r)
Untuk mengambil sebanyak r objek dari n objek kita menggunakan aturan perkalian (rule of product), banyaknya kemungkinan yang mungkin terjadi (jika urutan pengambilan diperhatikan dan pengembalian tidak diperbolehkan) dapat diselesaikan dengan rumus sebagai berikut :

n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}
Contoh soal
 Dari 10 finalis olimpiade matematika, akan dipilih 5 orang untuk berfoto secara berjajar. Jika urutan diperhatikan, maka banyaknya kemungkinan yang terjadi adalah

 penyelesaian: 
\frac{n!}{(n-r)!} = \frac{10!}{(10-5)!} = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 =  3.024

 Jadi, banyaknya kemungkinan dipilih 5 orang untuk berfoto secara berjajar adalah 3.024 kali.
Permutasi berukuran n dari n objek yang terdapat objek sejenis
Jika n sebagai objek, maka n1 diantaranya berjenis sama atau disebut jenis pertama,  n2 di antaranya berjenis sama (disebut jenis kedua), … , dan untuk sebanyak nr  yang berjenis sama (disebut jenis ke-r selanjutnya) dengan
n = n1 + n2 + … + nr
jadi, banyaknya susunan berukuran n dari n objek tersebut dinotasikan sebagai berikut
n!/(n = n1! x n2! x … x nr!)


Contoh: Berapakah banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dengan menggunakan semua huruf M,A,T,E,M,A,T,I,K, A?

penyelesaian 
Banyaknya huruf (n)= 10
Banyaknya huruf M (n1) = 2
Banyaknya huruf A (n2) = 3
Banyaknya huruf T (n3) = 2
Banyaknya huruf E (n4) = 1
Banyaknya huruf I (n5) = 1
Banyaknya huruf K (n6) = 1

Jadi, banyaknya susunan huruf yang mungkin adalah
\frac{10!}{2! 3! 2! 1! 1! 1!} = 151.200 cara.
Permutasi melingkar
         Permutasi melingkar dari n objek adalah penyusunan objek - objek yang mengelilingi sebuah lingkaran ( atau kurva tertutup sederhana ). Jumlah susunan objek yang mengelilingi lingkaran dinotasikan ( n - 1 )!
\frac{n!}{n} = (n-1)!
Contoh: jika ada 3 orang yang akan duduk di sekeliling meja bundar, maka banyaknya kemungkinan yang terjadi adalah (3-1)! = 2! = 2 .
jadi banyaknya kemungkinan yang terjadi jika ada 3 orang yang akan duduk di sekeliling meja bundar sebanyak 2 cara.

B.KOMBINASI

Kombinasi adalah bentuk khusus dari permutasi. Jika pada permutasi urutan diperhatikan, pada kombinasi urutan tidak diperhatikan.
Kombinasi r elemen dari n elemen: dinotasikan C(n,r)
Dalam mengambil sebanyak r elemen dari n objek.
Jika urutan pengambilan tidak diperhatikan dan pengembalian tidak diperbolehkan, maka banyaknya kemungkinan yang mungkin terjadi  dapat kita hitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
C(n,r) = \frac{P(n,r)}{r!} = \frac{n!}{(n-r)! r!}
Contoh 1: Ada berapa cara kita memilih 3 dari 4 elemen himpunan A={a,b,c,d}?
penyelesaian:
untuk setiap 3 elemen ada 3!=6 urutan yang berbeda (permutasi).
jadi,C(4,3)=4!/3!(4-3)!= 4 cara.
Contoh 2: Berapa banyak cara menyusun menu nasi goreng tiga kali seminggu untuk sarapan pagi?
penyelesaian: n=7, r=3
C(7,3)=7!/3!(7-3) !=35 cara.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

POHON BERAKAR - MATEMATIKA DISKRIT

-
Gambar
Terminologi pada Pohon Berakar Berikut merupakan daftar terminologi yang penting pada pohon berakar.Simpul - simpul pada pohon diberi label untuk mengacu simpu mana yang dimaksudkan.Kebanyakan terminologi pohon yang ditulis di bawah ini diadopsi dari terminologi botani dan silsilah keluarga. Child atau children (Anak) dan parent (orangtua) Path (lintasan) Descendant (Keturunan) dan ancestor (leluhur) Sibling (saudara kandung) Subtree (subpohon) Degree (derajat) Leaf (daun) Internal nodes (simpul dalam) Level (tingkat) Height (tinggi) atau depth (kedalaman) Child atau children (Anak) dan parent (orangtua) Simpul y disebut  anak apabila   simpul x jika   ada sisi dari simpul x ke y   dan  Orangtua  dari simpul y adalah simpul x. Pada gambar G1 :   Simpul b, c dan d -->  anak dari simpul a   Simpul e dan f,   anak dari simpul b   Simpul a,  orangtua dari simpul b, c dan d   Simpul b, or...
Baca selengkapnya

Keamanan Sistem Komputer

-
Gambar
selamat datang kembali ke blog saya!^^ Nama: Indah Azzura NIM : 201731292 Kelas: B Mata Kuliah : Keamanan Sistem Komputer Nama Dosen: Desi Rose Hertina ,S.T ,M.Kom KEAMANAN SISTEM KOMPUTER pada ORGANISASI SOSIAL dengan MENGGUNAKAN ALGORITMA KRIPTOGRAFI VIGENERE CHIPER A.Algoritma 1.Deskripsikan hubungan KSK dengan Kriptografi Algoritma Kelompok!  Suatu organisasi atau perusahaan sadar akan pentingnya keamanan sistem komputer yang dimiliki,dalam artian mereka memahami akan ada peluang berbagai ancaman datang dengan maksud yang disengaja atau tidak, membahayakan diri kita, mencuri informasi atau melakukan pengerusakan, penyalahgunaan informasi atau data yang kita miliki.Maka dari itu penting bagi sebuah organisasi atau perusahaan selalu meningkatkan dan keamanan sistem komputernya agar setiap data yang dimiliki dapat terjaga kerahasiaannya.Untuk itu kelompok saya menggunakan algoritma kriptografi Vigenere Chiper untuk mengamankan data dalam organisasi sosial karna alg...
Baca selengkapnya

RANGKAIAN LOGIKA (GERBANG LOGIKA)

-
Gambar
RANGKAIAN LOGIKA  (GERBANG LOGIKA) Aplikasi Aljabar Boolean 1.  Jaringan Pensaklaran ( Switching Network ) Saklar merupakan objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup.  Tiga bentuk gerbang paling sederhana: 1.                keluaran   b  hanya ada jika dan hanya jika saklar x  dibuka  menuju  x 2.                  keluaran   b  hanya ada jika dan hanya jika  x  dan  y  keduanya ditutup ke arah   xy 3.                   keluaran   c  hanya ada jika dan hanya jika  x  atau  y  ditutup ke arah   x  +  y    Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik: Rangkaian pensaklaran ...
Baca selengkapnya