RANGKAIAN LOGIKA (GERBANG LOGIKA)

RANGKAIAN LOGIKA

 (GERBANG LOGIKA)

Aplikasi Aljabar Boolean

1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)

Saklar merupakan objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup. 

Tiga bentuk gerbang paling sederhana:

1.    

          keluaran b hanya ada jika dan hanya jika saklarx dibuka  menuju x

2.      

          keluaran b hanya ada jika dan hanya jika x dan y keduanya ditutup ke arah xy

3.     

         

   keluaran c hanya ada jika dan hanya jika x atau y ditutup ke arah x + y

  

Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik:

Rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik dalam hubungan seri A dan B adalah saklar yang terpasang secara serial. Lampu hanya menyala jika A dan B ditutup. Dalam ekspresi Boolean ,hubungan serial ini dinyatakan sebagai AB. Sedangkan rangkaian pensaklran pada rangkaian listrik dalam hubungan pararel A dan B adalah saklar yang terpasang secara pararel.Lampu hanya menyala jika salah satu dari A dan B ditutup. Dalam ekspresi Boolean , hubungan pararel ini dinyatakan sebagai A + B.

 

                              

                                                                   

Contohnya Nyatakan rangkaian pensaklaran pada gambar di bawah ini dalam ekspresi Boolean.

Jawab:  x’y + (x’ + xy)z + x(y + y’z + z)

2. Rangkaian Digital Elektronik

Contoh. 

Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika.

Jawab:  (a) Cara pertama

(b) Cara kedua

(b) Cara ketiga

Gerbang turunan

Penyederhanaan Fungsi Boolean

Contoh.     f(x, y) = x’y + xy’ + y’

disederhanakan menjadi

f(x, y) = x’ + y’

Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:

1.    Secara aljabar

2.    Menggunakan Peta Karnaugh

3.    Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)

1. Penyederhanaan Secara Aljabar

Contoh:

1.    f(x, y) = x + x’y

      = (x + x’)(x + y)

 = 1 × (x + y )

 = x + y

2.    f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’

 = x’z(y’ + y) + xy’

 = x’z + xz’

3.    f(x, y, z) = xy + x’z + yz  = xy + x’z + yz(x + x’)

   = xy + x’z + xyz + x’yz

   = xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z

2.  Peta Karnaugh

a.  Peta Karnaugh dengan dua peubah

                                                                      y

                                                                          0          1

	m0	m1	x   0	x’y’	x’y
	m2	m3	1	xy’	xy

b. Peta dengan tiga peubah

							yz 00	01	11	10
	m0	m1	m3	m2		x   0	x’y’z’	x’y’z	x’yz	x’yz’
	m4	m5	m7	m6		1	xy’z’	xy’z	xyz	xyz’

Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.

x	y	Z	f(x, y, z)
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

yz 00 01 11 10 x  0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 b. Peta dengan empat peubah yz 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2   wx  00 w’x’y’z’ w’x’y’z w’x’yz w’x’yz’ m4 m5 m7 m6 01                      w’xy’z’ w’xy’z w’xyz w’xyz’ m12 m13 m15 m14 11 wxy’z’ wxy’z wxyz wxyz’ m8 m9 m11 m10 10 wx’y’z’ wx’y’z wx’yz wx’yz’

Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.

w	x	Y	z	f(w, x, y, z)
0	0	0	0	0
0	0	0	1	1
0	0	1	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0
1	0	1	0	0
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
1	1	0	1	0
1	1	1	0	1
1	1	1	1	0

	yz 00	01	11	10
wx      00	0	1	0	1
01	0	0	1	1
11	0	0	0	1
10	0	0	0	0

Teknik Minimisasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh

1. Pasangan: dua buah 1 yang bertetangga

	yz 00	01	11	10
wx   00	0	0	0	0
01	0	0	0	0
11	0	0	1	1
10	0	0	0	0

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’

Hasil Penyederhanaan:     f(w, x, y, z) = wxy

Bukti secara aljabar:

                   f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’

                                     = wxy(z + z’)

                                     = wxy(1)

                                     = wxy

2. Kuad: empat buah 1 yang bertetangga

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’

Hasil penyederhanaan:  f(w, x, y, z) = wx

Bukti secara aljabar:

                   f(w, x, y, z) = wxy’ + wxy

                                     = wx(z’ + z)

                                     = wx(1)

                                     = wx

 

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wx’y’z’ + wx’y’z

Hasil penyederhanaan:    f(w, x, y, z) = wy’

3.  Oktet: delapan buah 1 yang bertetangga

         

Sebelum disederhanakan: f(a, b, c, d) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’ +

             wx’y’z’ + wx’y’z + wx’yz + wx’yz’

Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = w

Bukti secara aljabar:

                    f(w, x, y, z) = wy’ + wy

                                      = w(y’ + y)

                                      = w

Contoh 5.11. Sederhanakan fungsi Boolean f(x, y, z)  = x’yz + xy’z’ + xyz + xyz’.

Jawab:

          Peta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah:

Hasil penyederhanaan:  f(x, y, z)  =  yz + xz’

         

Contoh 5.12. Andaikan suatu tabel kebenaran telah diterjemahkan ke dalam Peta Karnaugh. Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian sesederhana mungkin.

Jawab: (lihat Peta Karnaugh)  f(w, x, y, z) = wy’ + yz’ + w’x’z

     

Contoh 5.13.  Minimisasi fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.

  

Jawab: (lihat Peta Karnaugh)  f(w, x, y, z) = w + xy’z

Jika penyelesaian Contoh 5.13 adalah seperti di bawah ini:

maka fungsi Boolean hasil penyederhanaan adalah

          f(w, x, y, z) = w + w’xy’z                               (jumlah literal = 5)

yang ternyata masih belum sederhana dibandingkan f(w, x, y, z) = w + xy’z   (jumlah literal = 4).          

Contoh soal (Penggulungan/rolling) Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.

Jawab:  f(w, x, y, z) = xy’z’ + xyz’ ==> belum sederhana

Penyelesaian yang lebih minimal:

  

                f(w, x, y, z) = xz’    bentuk lebih sederhana

Contoh soal (Kelompok berlebihan) Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.