HIMPUNAN

Himpunan 

A.Definisi Himpunan

 Himpunan (set) adalah kumpulan objek objek yang berbeda. Objek didalam himpunan diebut elemen, unsur, atau anggota. 

B.Penyajian Himpunan

 Kita dapat menyajikan himpunan dalam empat cara, yaitu enumerasi, simbol baku, Notasi, dan diagram Venn.

1. Enumerasi ( Mendaftarkan anggotanya )

    Enumeasi yaitu suatu himpunan yang dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya yang dituliskan dalam tanda kurung kurawal ( { } ) dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma .
Contoh :

• Himpunan A berisi empat anggota 1,2,3, dan 4 dapat ditulis sebagai A ={ 1, 2, 3, 4 }.
• Himpunan B yang berisi lima bilangan genap positif pertama adalah B ={ 1, 2, 3, 4, 5 }.

2. Simbol baku

Simbol baku yaitu menggunakan simbol tertentu yang sudah di sepakati .
Contoh : 

• P =  himpunan bilangan bulat positif  =  { 1, 2, 3, ... }
• N =  himpunan bilangan alami (natural)  =  { 1, 2, ... }
• Z =  himpunan bilangan bulat  =  { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
• Q =  himpunan bilangan rasional
• R =  himpunan bilangan riil
• C =  himpunan bilangan kompleks

3. Notasi pembentuk himpunan

Notasi pembentuk himpunan yaitu suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan syarat keanggotaan himpunan tersebut , notasi ini biasanya berbentuk umum . 

Penulisan notasi : { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh : A = {y| 1 < y < 6 , adalah biangan ganjil }
Dibaca : ( A adalah himpunan yang anggotanya semua y , dengan syarat y lebih dari 1 dan kurang dari 6 dan y adalah bilangan ganjil 
jadi A = { 2 , 3 , 5 }

4. Diagram venn

Diagram venn yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis denagn tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memilki himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat . 
Contoh : 

     Diketahui : S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}                           A={1,3,4,2,5}
                           B={2,5,7,6}

Diagram Venn

C.Kardinalitas

      Kardinalitas adalah jumlah elemen yang berbeda pada sebuah himpunan.

             Notasi: n(A) atau |A|

Contoh: A { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 }, maka |A|=8, dengan elemen - elemen A adalah                          2,3,5,7,11,13,17,19

D.Macam - Macam Himpunan

1.    Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Syarat :

A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B

A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

Contoh :

Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka  B ⊂ A

Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya.

Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A  juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.

2.    Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.

Syarat :

Himpunan kosong = A atau { } Himpunan kosong adalah tunggal

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.

Sebab : { 0 } ≠ { }

Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).

3.    Himpunan Semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.

4.    Himpunan Sama (Equal)

Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.dinotasikan dengan A=B

Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.

Contoh :

A ={ c,d,e}    B={ c,d,e }   Maka A = B

Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

5.    Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.

Contoh  C = {1, 3, 5, 7}   dan  D = {2, 4, 6}  Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.

Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama

6.    Himpunan Komplemen (Complement set)

Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi A^C . Himpunan komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi A^C = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis :

A^C = {x│x Є U, x Є A}

7.    Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.

Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

Contoh :

A = { w,x,y,z }→n (A) = 4

B = {  r,s,t,u   } →n  (B) = 4

Maka n (A) =n (B) →A≈B

Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.

E.Operasi Terhadap Himpunan

1.    Gabungan ( union )

Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. 

Notasi : A ∪ B = {x | x Є A atau  x Є B}

Diagram Venn untuk A ∪ B 

2.    Irisan (intersection)

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan anggota himpunan B.

Notasi : A  ∩ B = {x | x Є  A dan x Є B}

Diagram Venn untuk A  ∩ B

3.    Komplemen

Komplemen dari himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A. Dinotasikan A^c

      Notasi : A^c = {x | x Є S dan  x Є A} 

Diagram Venn untuk komplemen

     

4.    Selisih ( different )

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A. Dinotasikan A-B

Notasi : A – B = {x | x Є A dan  x Є B}

 Selisih

                                                          

5.   Hasil Kali Kartesius ( cartesion Product )

Hasil kali kartesius himpunan A dan B, dinotasikan A x B, adalah himpunan yang anggotanya semua pasangan terurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B

Notasi : A x B = {(a,b)| a Є A dan b Є B}

6.   Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Beda setangkup antara dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B , tetapi tidak pada keduanya. 

Notasi : A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)

beda setangkup

F. Hukum-Hukum Aljabar Himpunan

1. Hukum identitas:

• A ∪ ∅ = A
• A ∩ U = A

2. Hukum null/dominasi:

• A ∩ ∅ = ∅
• A ∪ U = U

3. Hukum komplemen:

• A ∪ A = U
• A ∩ A = ∅

4. Hukum idempoten:

• A ∪ A = A
• A ∩ A = A

5. Hukum involusi:
   

6. Hukum penyerapan (absorpsi):

• A ∪ (A ∩ B) = A
• A ∩ (A ∪ B) = A

7. Hukum komutatif:

• A ∪ B = B ∪ A
• A ∩ B = B ∩ A

8. Hukum asosiatif:

• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

9. Hukum distributif:

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

10. Hukum De Morgan:

     

11. Hukum komplemen:

     

Sumber Arttikel:
- buku Matematika Dikrit Revisi Kelima Rinaldi Munir
- http://pratamasttg.blogspot.co.id/2013/10/cara-penyajian-himpunan.html
- https://rumushitung.com/2017/08/15/mengenal-diagram-venn/