FUNGSI

FUNGSI

Fungsi sering kita gunakan dalam mentransformasikan elemen dimana sebuah himpunan dengan elemen di himpunan lain.Dapat kita misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan satu elemen didalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B dapat kita tulis seperti dibawah ini :

        f : A→ B

artinya fungsi memetakan A ke B.
Nama lain fungsi yaitu pemetaan atau transformasi .Dalam penulisannya f(a)= b jika elemen a didalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

Himpunan A disebut daerah asal  atau domain dari f.Himpunan B disebut daerah hasil atau codomain dari f.Jika f(a) = b, b dinamakan bayangan atau image dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f.

Fungsi merupakan relasi yang khusus,dimana terdapat 2 hal penting berikut:

1. Tiap elemen didalam himpunan A, yang merupakan daerah asal f, harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefenisikan f
2. Frasa “ dihubungkan dengan tepat satu elemen didalam B” berarti bahwa jika (a,b) Î f dan (a,c) Î f, maka b = c.

Macam -  macam bentuk fungsi yaitu  :
a. himpunan pasang terurut.
fungsi adalah relasi, relasi sering dinyatakan sebagai himpunan pasang terurut.

b. formula pengisian nilai (assignment).
Dalam mata kuliah aljabar atau kalkulus, fungsi dispesifikasikan  dengan bentuk rumus pengisian nilai , yang dimisalnya f(x)=2x + 10,f(x) = x², dan f(x)= 1/x. Jika himpunan daerah asal atau daerah hasil fungsi tidak dinyatakan secara spesifik, maka diartikan daerah asal fungsi adalah R dan daerah hasilnya juga R. Dalam himpunan pasangan terurut kita mendefenisikan fungsi sebagai f= {(x,x2)| x ∈ R}.

c. Kata – kata
fungsi dalam bentuk kata - kata dicontohkan “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”.

d. Kode program (source code)
contoh fungsi utuk kode program yang menggunakan Bahasa Pascal, fungsi yang mengembalikan nilai mutlak dari sebuah bilangan bulat x, yaitu |x|


contoh 1

Relasi f= {(1,u),(2,v),(3,w)} dari A= {1,2,3} ke B = {u,v,w} adalah fungsi dari A ke B. Disini f(1) = u,f(2)=v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u,v,w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B.

contoh 2
Relasi f={(1,u),(2,u),(3,w)} dari A = {1,2,3} ke B= {u,v,w} adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A. Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u,v}.

contoh 3
Relasi f={(1,u),(1,v),(2,v)(3,w)} dari A= {1,2,3} ke B = {u,v,w) bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v (ingat Definisi 3.13).

contoh 4

Misalkan A himpunan mahasiswa di STTPLN.Manakah dari pemetaan berikut yang mendefinisikan sebuah fungsi pada himpunan A?
(i) Setiap mahasiswa memetakan NIM (Nomor Induk Mahasiswa).
(ii) Setiap mahasiswa memetakan nomor handphone-nya.
(iii) Setiap mahasiswa memetakan dosen walinya,
(iv) Setiap mahasiswa memetakan anaknya.

Jawab:
(i) Ya, karena setiap mahasiswa hanya mempunyai satu buah NIM.
(ii) Tidak, karena ada mahasiswa yang mempunyai lebih dari satu nomor HP atau tidak mempunyai HP sama sekali.
(iii) Ya, karena setiap mahasiswa hanya mempunyai 1 orang dosen wali.
(iv) Tidak, jika ada mahasiswa yang belum menikah.

SIFAT - SIFAT FUNGSI
Berdaarkan bayangan fungsi dibedakan menjadi fungsi satu-ke-satu (one-to-one),fungsi pada (onto), atau bukan salah satu dari keduanya.

a. Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) adalah jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memilki bayangan sama. Dengan kata lain, jika a dan b adalah anggota himpunan A, maka f(a)¹ f(b) bilamana a ¹ b. Jika f(a) = f(b) maka implikasinya adalah a=b.
Gambar  fungsi satu-ke-satu.

contoh soal
1.Relasi f= {1,w), (2,u), (3,v)} dari A={1,2,3} ke B= {u,v,w,x} adalah fungsi satu-ke-satu. Relasi f= {(1,w),(2,u),(3,v)} dari A= {1,2,3} ke B= {u,v,w} juga fungsi satu-ke-satu,tetapi relasi f= {(1,u),(2,u),(3,v)} dari A= {1,2,3} ke B= {u,v,w} bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1)=f(2)=u.

2.Misalkan f:Z −> Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x)= x-1 merupakan fungsi satu-ke-satu?
jawab:
(i) f(x)= x2 + 1 bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2)= f(-2)=5 padahal -2 ¹ 2.(ii) f(x)= x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a¹b, a – 1 ¹ b -1. Misalnya untuk x= 2, f(2)=1 dan untuk x= -2, f(-2)=3.

b.Fungsi f dikatakan pada (onto) atau surjektif (surjective) adalah jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f .Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.


Gambar  fungsi pada.





contoh soal
1.Relasi f={(1,u),(2,u),(3,v)} dari A ={1,2,3} ke B = {u,v,w} bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f. Relasi f= {(1,w),(2,u),(3,v)} dari A = {1,2,3} ke B= {u,v,w} merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f.

2.Misalkan f : Z−> Z Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x -1 merupakan fungsi pada??
jawab:
(1). f(x) = x2 + 1 bukan fungsi pada , karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f. misalkan tidak ada nilai x yang membuat nilai fungsi sama dengan 0, yaitu x2 +1 = 0 tidak dipenuhi nilai x berapapun.

(2). f(x) = x -1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi , yaitu y=x-1 akan dipenuhi untuk x=y+1


c.fungsi f dikatakan berkorespodensi satu ke satu atau bijeksi adalah jika ia fungsi satu ke satu dan juga fungsi pada.
contoh soal
1.Relasi f ={(1,u),(2,v),(3,w)} dari A={1,2,3} ke B={u,v,w} merupakan fungu berkoresponden satu ke satu , karena f adalah fungsi satu ke atu maupun fungsi pada

gambar berikut  memperlihatkan perbedaan antara fungsi satu ke satu tetapi bukan pada, fungsi pada tetapi bukan satu ke satu, bukan fungsi satu ke satu maupun fungsi pada dan bukan fungsi.










Sumber:

-Buku Matematika Diskrit Revisi Kelima Rinaldi Munir Penerbit INFORMATIKA